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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之直線方程(一)
直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
、俣x:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即(參見圖一) .斜率反映直線與軸的傾斜程度.
當(dāng)(參見圖二)時(shí),k>=0 ;當(dāng)(參見圖三) 時(shí),k< 0 ;當(dāng)(參見圖三)時(shí), k不存在.
、谶^兩點(diǎn)的直線的斜率公式:(參見圖五)
注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng) x1=x2 時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到.
(3)直線方程
、 點(diǎn)斜式: y - y1 = k(x - x1) 直線斜率k,且過點(diǎn) (x1,y1)
注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1.
當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.
、 斜截式:y = kx+b ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b
③ 兩點(diǎn)式: (參見圖六) 直線過兩點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2) ,
、 截矩式:(參見圖七)其中直線l 與 x軸交于點(diǎn)(a,0) ,與y 軸交于點(diǎn)(0,b) ,即l 與x 軸、y 軸的截距分別為a,b .
⑤ 一般式:Ax + By + C = 0 (A,B不全為0)
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之直線方程(二)
注意:
1 各式的適用范圍
2 特殊的方程如:
平行于x軸的直線:y = b (b為常數(shù)); 平行于y軸的直線:x=a (a為常數(shù));
(4)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線
、 平行直線系 平行于已知直線 (A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線系:A0x+B0y+C0 = 0(C為常數(shù))
、 過定點(diǎn)的直線系
(ⅰ)斜率為k的直線系:y-y0 = k(x-x0) ,直線過定點(diǎn)(x0,y0) ;
(ⅱ)過兩條直線 l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交點(diǎn)的直線系方程為 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 (E為參數(shù)),其中直線l2 不在直線系中.
(5)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解.
(6)兩直線平行與垂直
當(dāng) l1: y=k1x+b1,l2: y=k2x+b2 時(shí),(參見圖八)
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之直線方程(三)
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否.
(7)兩條直線的交點(diǎn)
l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0 相交
交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 的一組解.
方程組無解 (參見圖十) ; 方程組有無數(shù)解 l1 與 l2 重合
(8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),
則 (參見圖十一)
(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)P(x0,y0) 到直線l1:Ax+By+C=0 的距離
(參見圖十二)
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