高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算

　　高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算！元旦大家過的如何？這個小長假之后就要迎來期末診斷了。向量運算存在立體幾何的題中，或者是單獨出在選擇題和填空題。愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算希望對同學們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(一)

　　高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(二)

　　1、向量的加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.

　　AB+BC=AC.

　　a+b=(x+x',y+y').

　　a+0=0+a=a.

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a;

　　結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　2、向量的減法

　　如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

　　AB-AC=CB.即“共同起點,指向被減”

　　a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

　　4、數(shù)乘向量

　　實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.

　　當λ>0時,λa與a同方向;

　　當λ<0時,λa與a反方向;

　　當λ=0時,λa=0,方向任意.

　　當a=0時,對于任意實數(shù)λ,都有λa=0.

　　注：按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

　　實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.

　　當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

　　當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.

　　數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律

　　結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).

　　向量對于數(shù)的分配律(先進分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

　　高三期末-高三期末數(shù)學之向量運算(三)

　　3、向量的的數(shù)量積

　　定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

　　定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量,記作a?b.若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣.

　　向量的數(shù)量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'.

　　向量的數(shù)量積的運算律

　　a?b=b?a(交換律);

　　(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

　　(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

　　向量的數(shù)量積的性質(zhì)

　　a?a=|a|的平方.

　　a⊥b 〈=〉a?b=0.

　　|a?b|≤|a|?|b|.

　　向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

　　1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.

　　2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.

　　3、|a?b|≠|a|?|b|

　　4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

　　4、向量的向量積

　　定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

　　向量的向量積性質(zhì)：

　　∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

　　a×a=0.

　　a‖b〈=〉a×b=0.

　　向量的向量積運算律

　　a×b=-b×a;

　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

　　(a+b)×c=a×c+b×c.

　　注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.

　　向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

　�、� 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;

　�、� 當且僅當a、b同向時,右邊取等號.

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

　�、� 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;

　�、� 當且僅當a、b反向時,右邊取等號.

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